CALCULO

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El cálculo de Leibniz.

    Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos
inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y₁,y₂,y₃,?,y_n

    Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y₁+y₂+y₃+ +y_n es una aproximación de la cuadratura de
la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y_i¢s da aproximadamente la pendiente de su tangente. Además, cuanto más pequeña
sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequeña, entonces las aproximaciones
serían exactas, la cuadratura sería igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de ordenadas. De
esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes
son operaciones inversas la una de la otra.
    Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas,
dx la diferencia de dos abscisas consecutivas e ydx representa la sumade los pequeños rectángulos infinitesimales ydx.
    De esta forma el teorema fundamental del cálculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el área debajo de una curva con ordenadas y,
debemos hallar una curva de ordenadas z de tal manera que  dz/dx=y, en cuyo caso es también ydx=z.
    En la primera notación de sus manuscritos Leibniz escribe

omn·l = y

donde omn es omnia, que en latín significa suma, y donde l son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su cáalculo y la expresión
simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesión que empieza por 0 es igual al último término.
    Después iría cambiando su notación y escribe la anterior relación comody=y que es la que usamos actualmente. El signo integral  no
es más que una S elongada que significa suma.
    La idea de su cálculo es que las fórmulas y relaciones geométricas se realicen de manera casi automática por medio de las reglas del
cálculo de diferencias

d(x+y)=dx+dy  d(xy)=x   dy+y   dx  d(   x y )=   y  dx-x  dy y2 d(xn)=n xn-1  dx etc.

    Para demostrar por ejemplo la regla d(xy)=x dy+y dx, calcula la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión producto xy

d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dx dy

y luego omite la cantidad dx dy por ser infinitamente más pequeña en comparación con los otros términos.
    De esta regla Leibniz deduce la integración por partes

x dy=xy- y dx

    Aunque las demuestra como teoremas, siempre que puede intenta relacionar sus operaciones analíticas con resultados geométricos familiares. Por ejemplo para esta última integración por partes, observa que es también la adición de áreas

x dy+ y dx=xy

de acuerdo con la figura


    Para probar

d  (  y x ) =  xdy-ydx x2

escribe

d   y x =  y+dy x+dx -  y x =  xdy-ydx x2+x dx

y otra vez cancela xdx del denominador por ser pequeño frente a x².
  Otra relación es por ejemplo

y dy=  y2 2

    Para su prueba, piensa en términos de la función y=x. Tal como se observa en la figura el área del triángulo ABC es la suma de los y dy, para pequeños dy, pero esta área es  y²/ 2.


    En sus aplicaciones geométricas, dado un punto P=(x,y) sobre una curva, tal como se observa de la figura


aparecen las llamadas subtangente s=TA, tangente t=TP, normal n=PB y subnormal n = AB. Todas estas variables tienen entitad
propia y están relacionadas unas con otras. Por ejemplo se tiene por la semejanza

y s =  n y

    Para cada una de estas variables se pueden considerar también sus diferencias. Si consideramos las diferencias dx y dy, el pequeño
triángulo PQR se llama el triángulo característico y se tiene por ejemplo la relación

dy dx =  y s

    Todo este cálculo y en especial su notación resultó ser muy manejable y de gran utilidad, lo que contribuyó decisivamente a su éxito.
Notación y concepto son virtualmente inseparables. Por ejemplo la regla de la cadena para z=f(y) e y=g(x) que nosotros escribimos como
primero la composición h(x)=f(g(x) y luego

h¢(x)=f¢(g(x))g¢(x)

en su notación diferencial es simplemente

dz dx =  dz dy ·  dy dx

    Aunque desde el punto de vista lógico le falta rigor a esta fórmula simbólica, ya que cancela dy¢s como si fueran números reales, no
sólo halla correctamente al resultado sino que sugiere además la manera de demostrarla, reemplazando las diferenciales dx,dy,dz por
incrementos finitos Dx,Dy,Dz y pasando luego al límite.
    Leibniz tardó unos años en presentar estas ideas en público ya que era una formulación intuitiva, pero que tenía el problema de trabajar
con cantidades infinitamente pequeñas y esto no estaba rigurosamente definido ni era muy aceptable en matemáticas. Su primera publicación
fue un corto artículo titulado "Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates
moratur et singulare pro illis calculi genus", (Un nuevo método para máximos y mínimos y tangentes, no impedido por cantidades
racionales o irracionalesy un singular nuevo tipo de cálculo para ellas), que apareció en 1684 en Acta eruditorum.
    En este trabajo original, después de introducir su cálculo, Leibniz da tres ejemplos de la aplicaciones, el primero prueba el principio
ya conocido por Descartes y Fermat de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refracción, el segundo es un problema geométrico.
Luego, dice Leibniz:
  "Y esto es sólo el comienzo de una mucho más sublime Geometría, de problemas incluso mucho más difíciles y de los más bonitos de
matemáticas aplicadas, los cuales sin nuestro cálculo diferencial o algo similar nadie podría atacar con tanta facilidad. Añadiremos
como apéndice la solución del problema que De Beaune propuso a Descartes, quién lo intentó resolver el el Vol. 3 de sus Lettres,
pero sin éxito"
    En realidad Descartes había encontrado prácticamente la naturaleza de esta curva, pero carecía de instrumentos adecuados para su solución.
Este problema y otros que fueron apareciendo después pusieron de manifiesto la potencia del nuevo cálculo. Exponemos este problema en
la sección siguiente.

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3.3  El problema de De Beaune.
    El problema que Florimont De Beaune había propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente
sea una constante dada a.


    De la relación

dx dy =  s y

obtenemos tomando s=a

a   dy=y   dx

    Leibniz considera dx=b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresión aritmética. Tomando k=b/a, la relación anterior da

dy=k   y

    Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y.
    Más concretamente, si tomamos la sucesión de abscisas

x0=x, x1=x+b, x2=x+2b, x3=x+3b , ...

que están en progresión aritmética, al ser dy₁=y₁-y₀=k y₁, será y₁=k₁ y₀ para la constante k₁=1/(k+1). Luego las correspondientes ordenadas

y0, y1=k1 y0, y2=k12 y0,y3=k13 y0, ...

están en progresión geométrica.
    Leibniz concluye diciendo que la curva es una  "logarítmica".
En nuestro cálculo actual de la relación diferencial que define la curva a dy=ydx, obtenemos

a  dy y =dx

de donde integrando a logy=x+C. (Obsérvese que la notación que usamos ahora para este proceso es la original). Leibniz viene a describir una poligonal solución de una ecuación en diferencias que aproxima a la exponencial y su ecuación diferencial correspondiente, siendo la aproximación cada vez mejor a medida que dx se va haciendo infinitésimo.

 Desarrollo del seno a partir de su ecuación diferencial.

    Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece
el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P=(x,y) y q es el ángulo que forma POB.

    Por semejanza de triángulos

    Además por el teorema de Pitágoras dx²+dy²=d q². Elevando al cuadrado la primera relación, despejando dx² y sustituyendo en la
segunda obtenemos después de simplificar

dy2+y2 dq2=d q2

que es la ecuación diferencial que verifica y=sinq. Para resolver esta ecuación Leibniz considera dq como constante y aplica el operador d a la ecuación. Se obtiene d[dy²+y² dq²]=0, de donde por la regla del producto

d[dy·dy+y2 dq2]=2(dy)(d   dy)+2y dy dq2=0

esto es

d2y d q2 =-y

que es la ecuación diferencial de segundo orden de y=sinq. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados

y=sinq = b q+cq3+e q5+f q7+gq9+

donde ha tomado el término constante igual a cero al ser sin0=0 y sólo toma potencias impares al ser sinq impar. Diferenciando dos veces
esta expresión se obtiene

d2y dq2 =2·3 c q+4·5 e q3+8·9 g q7+

que debe ser igual a -y=-b q-c q³-e q⁵-f q⁷-gq⁹-  Igualando coeficientes se obtiene

2·3 c=-b  4·5 e = -c  8·9 g = -f

    De donde tomando b=1 como condición inicial obtenemos sucesivamente c=-1/3!, e=1/5!, f=-1/7!, g=1/9!, ... , esto es

sinq = q-  1 3! q3+  1 5! q5-  1 7! q7 +  1 9! q9-

    Obtiene por tanto con su método de diferencias la relación que ya había obtenido Newton en 1676 con su serie del binomio.

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 Resumen y desarrollo posterior.

    Una vez que hemos descrito con detalle separadamente las ideas de Newton y Leibniz en el desarrollo del cálculo como una nueva y
coherente disciplina matemática vamos a comparar y contrastar ambos procedimientos.
    Tal como hemos visto Newton concibe la derivada de y=f(x) como el cociente entre fluxiones

. y . x

donde considera las fluxiones , como las velocidades en que cambian los fluentes x,y. Su concepción es cinemática. En cambio Leibniz
considera el cociente anterior dy/dx como cociente entre diferencias. La integral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar para una fluxión dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita de diferenciales. A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculan de la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan el mismo cálculo desde puntos de vista distintos
y observan como inversos los procesos de diferenciación e integración. Antes se habían calculado áreas, volúmes y tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sin que se observara con claridad que el cálculo de áreas y el de tangentes son inversos uno
del otro. El nuevo cálculo es universal, en el sentido en que se aplica del mismo modo a todo tipo de funciones. Newton y Leibniz lo aplicaron
con éxito para calcular áreas como la cisoide o la cicloide, tangentes, longitudes de arco, problemas de máximos y mínimos, geométricos, etc.
    Para ilustrar con un ejemplo sencillo los conceptos del cálculo de Newton y de Leibniz, veamos como calcularían ambos la tangente a la
parábola y²=ax en un punto M=(x,y) de la figura

    Dada la relación entre fluentes y²=ax Newton calcularía primero la relación entre sus fluxiones: De

elevando al cuadrado

    Simplificando y dividiendo por o resulta

de donde cancelando luego los términos que contienen o se obtiene 2y =a , esto es

. y . x =  a 2y

que nos daría la pendiente de la tangente.
    En el primer libro de texto de cálculo diferencial, "Analyse des Infinitement Petits" de l'Hospital de 1696, aparece exactamente el ejemplo
que estamos calculando. De hecho la figura geométrica anterior está tomada del este libro, sección 2, pag. 12. Su solución, siguiendo de
diferencias de Leibniz dice asi:
     "Si se quiere que ax=yy exprese la relación de AP a PM, la curva AM será una parábola que tendrá por parámetro la recta dada a y tendrá, tomando diferencias en cada miembro

a   dx=2y  dy

por tanto dx=2ydy/a y

PT=  ydx dy =  2yy a =2x

donde hemos sustituído yy por su valor ax. De donde se deduce que si se toma como PT el doble de AP y se considera la recta MT, ella será tangente
en el punto M. Ce qui était proposé".
    Newton la derivada como cociente entre fluxiones, o como "razón última de cantidades evanescentes" presentaba problemas de rigor
lógico. Para Leibniz sin embargo, el cociente dy/dx era "simplemente" un cociente con interpretación geométrica clara. Los problemas de interpretación se volvían más agudos al considerar derivadas de mayor orden. Debido a su facilidad y al genial tratamiento que tuvo por
parte de los hermanos Bernoulli y por Euler el cálculo de Leibniz empezó a cosechar grandes éxitos. Sus seguidores se preocupaban menos
de sus aspectos lógicos y más de sus aplicaciones ya que era un cálculo que funcionaba. Permitió resolver problemas tales como el de la braquistocrona o de la catenaria que habían sido intratables hasta entonces. En cambio en Inglaterra los matemáticos se preocuparon mucho
más por los problemas de rigor lógico, paralizando con ello su aplicación. Una vigorosa y malintencionada exposición de las inconsistencias
del nuevo cálculo fue la que escribió el obispo anglicano de la diócesis de Cloyne (Irlanda) George Berkeley(1685-1753). Berkeley escribió
en 1734 un ensayo titulado "The Analyst, or A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician". El "matemático infiel" era Edmund
Halley (1656-1742), el famoso astrónomo y amigo de Newton, quién parece ser que convenció a un conocido sobre la inutilidad de la
doctrina cristiana y éste rehusó el consuelo espiritual de Berkeley cuando estaba en su lecho de muerte.
    Este es un párrafo del argumento de Berkeley:

 "Y  ¿Qué son las fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. Y  ¿Qué son estos mismos incrementos evanescentes? Ellos no son ni cantidades fimnitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada.  ¿No las podríamos llamar fantasmas de cantidades que han desaparecido?"

    A finales de 1690 Leibniz fue duramente atacado por los seguidores de Newton, quienes le acusaban de plagio. Su principal argumento
fueron las cartas que Newton le había mandado via Oldenburg. Al irse incrementando los ataques Leibniz pidió en 1711 a la Royal Society
of London, de la que era miembro, para que interviniera en el asunto. La Royal Society nombró una comisión para que estudiara el caso y
en 1712, movida más que nada por motivos de nacionalismo y maniobrada por Newton, decidió que Leibniz había en efecto plagiado a
Newton. Hoy sabemos que tanto Newton como Leibniz desarrollaron independientemente su cálculo.
    Este desafortunado incidente separó en dos bandos los matemáticos de Inglaterra y del Continente por mucho tiempo. La ironía del destino,
fue que la victoria inglesa hizo que sus matemáticos rehusaran sistemáticamente el uso de los métodos de Newton, cerrando para si con ello el tremendo desarrollo que la matemática tuvo en el siglo XVIII.

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